¿Cuál es la rama de las matemáticas más antigua?

Las matemáticas es una de las ciencias más fascinantes que existen, aunque ha sido un dolor de cabeza para la mayoría de las personas, no podemos dudar que no hubiéramos alcanzado tanto desarrollo sin los avances de las matemáticas.

Todo en la vida tiene un comienzo, las matemáticas que conocemos hoy en día no nacieron formadas, fueron haciéndose gracias a los esfuerzos de muchas personas procedentes de diferentes naciones, culturas e idiomas. El desarrollo de las matemáticas fue estimulado por las necesidades del día a día, para hacer más fácil la solución de problemas cotidianos.

Pero, ¿Cuál es la rama de las matemáticas más antigua?

La aritmética es la más antigua y elemental rama de las matemáticas, es utilizada en todo el mundo para los cálculos cotidianos y se enseña desde los primeros años de educación.

Sabias que Aritmética significa literalmente el arte de contar. La palabra Aritmética deriva del latín arithmetĭcus y esta a su vez del griego arithmētikos. Está compuesta de dos palabras: arithmos, que significa número y texne, que se refiere a arte, técnica o habilidad.

Conoce más de la aritmética, dando clic aquí.

Qué son los números racionales

El desarrollo de las matemática no hubiera sido posible sin una buena representación de los signos para representar las cantidades, desde que el hombre inventó los números naturales, por la necesidad de contar las cosas a su alrededor, hemos venido necesitando de nuevas representaciones númericas para poder hacer cálculos cada vez más complejos.


En esta ocasión hablaremos sobre los números racionales, la idea es que podamos tener un mayor entendimiento de estos números y que nos sea más fácil resolver operaciones matemáticas. Cabe recalcar que el nombre racional no hace referencia al pensamiento racional, más bien, a ración o parte de un todo. de ahí su nombre.

¿Qué son los números racionales?

Para comprender mejor que son los números racionales, comencemos a recordar las otras clases de números que existen.

Desde muy pequeños, cuando empezamos a contar utilizamos los números naturales, estos números también son conocidos como números enteros positivos.

Ejemplo:

Luego de eso y con la ayuda de la recta númerica, nos enseñaron la existencia de los números enteros negativos, estos números junto con los enteros positivos, forman parte del conjunto de los números enteros 

Ejemplo:

Siguiendo nuestro aprendizaje en el colegio y avanzando en nuestro estudio de los números, llegaron los números racionales.

Ahora si, podemos explicar 

¿Qué son los números racionales?

Los números racionales o fraccionarios son todos aquellos números que pueden escribirse como una razón, fracción o cociente a/b. donde a es un número entero cualquiera (llamado númerador de a/b) y b un número distinto de 0, b≠0, (llamado denominador de a/b).

Nota: el cociente a/b es indefinido si b=0, por ejemplo, los casos: 10/0, 0/0.


Ejemplos de números racionales:




Es importante saber que:

Todo número entero es racional, ya que cualquier número entero puede escribirse de la forma a/1, ejemplo: 6/1=6, 101/1=101.


También, todo número fracionario es racional y sirven para representar medidas, casi siempre la notación fraccionaria es mas apropiada para representar los números racionales, por la gran cantidad de decimales que se pueden obtener en la división de dos números.


Al conjunto de los números racionales se denota por , Este signo significa cociente, como es obvio pensar, y proviene de la palabra anglosajona quotient. Por lo anterior, muchas veces encontraremos en literaturas matemáticas que se refieren a los números racionales como números .

Dado que los números enteros tambien se pueden escribir como el cociente del número entero y 1, los números enteros también son números racionales, por ejemplo: 6/1 = 6.

El conjunto de los números reales, está situado en la recta numérica, pero a diferencia de los enteros positivos y negativos que son consecutivos por ejemplo: 4,5,6,... 

Los números racionales no poseen consecución porque entre cada uno de ellos hay infinitos números.

Los números racionales se clasifican en dependencia de su expresión decimal en:

Números racionales limitados o finitos:

Son números racionales cuya representación decimal tienen un número determinado de cifras, por ejemplo 1/4=0.25

Números racionales periodicos o recurrentes

Son números racionales en que sus decimales tienen un número ilimitado de cifras 

También, los números racionales periodicos se dividen en periódicos puros, cuyo patrón lo podemos encontrar inmediatamente después del punto.

Por ejemplo: 1/9 = 0.111111

y en periódicos mixtos donde ubicamos el patrón después de un determinado de cifras

Por ejemplo: 5/22 = 0,22727272

Propiedades de los números reales

Tabla de propiedades de los números reales

La mayoría de las personas creemos que las matemáticas unicamente sirvieron cuando estabamos en el colegio o universidad, pero, inconscientemente día a día recurrimos a lo aprendido en esos inolvidables días para poder solucionar problemas que necesiten cálculos matemáticos.

Conocer las propiedades de los números es uno de tantos elementos matemáticos que debemos manejar como herramientas importantes para estar preparado a los retos de la vida diaria.

¿Cuáles son las propiedades de los números reales?

Para responder a esta pregunta es importante conocer, ¿Qué son los números reales?.

Los números reales

La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto números irracionales, conforman el conjunto de números reales.

Ejemplo de números reales

¿Qué es un número racional?

Un número racional, es todo aquel número que se puede expresar como el cociente de dos números enteros, en esta lista de números racionales, también se incluyen los números enteros, porque estos se pueden expresar de la siguiente forma a/1=a, por ejemplo: 6/1=6. 

Ejemplos de números racionales

También, podemos afirmar que todo número racional es un decimal que o se repite o termina, por ejemplo:

1/3 = 0,333333

7/25 = 0,28

Pero también, hay números que no son racionales, pero son parte del conjunto de números racionales, estos números se le conocen como números irracionales.

Conozca más de los números racionales aquí

¿Qué es un número irracional?

Son todos los números reales que no pueden expresarse de la forma a/b, por ejemplo el número Pi, π: 3.14159, estos números son todos los decimales que tienen la características de ser infinitos y sus números no se repiten, no tienen un patrón definido.

Ejemplo de números irracionales:

Ahora, conociendo mejor que son los números reales, conozcamos sus propiedades.

Propiedades de los números reales

Los números reales son un conjunto cerrado para la suma y la multiplicación, lo que significa que la suma o multiplicación de número reales da como resultado otro número real. 

Propiedad Cerradura

La suma o multiplicación de números reales da como resultado otro número real

Para la suma

a + b ϵ R

Ejemplo:

6 +5 = 11  ϵ R

Para la multiplicación

a ‧ b ϵ R

Ejemplo:

(4)(-3)=-12 ϵ R

Propiedad Conmutativa

El orden de los factores no altera el producto

Para la suma

a + b = b + a

Ejemplo:

1/2 + 3/7 = 3/7 + 1/2

Para la multiplicación

a ‧ b = b ‧ a

Ejemplo

 (2) (1/5) = (1/5)(2)

Propiedad Asociativa

No importa como se agrupen las cantidades, el resultado será siempre el mismo.

Para la suma

a + (b + c) = (a + b) + c

Ejemplo

4 + (7 + 2) = (4 + 7) + 2

Para la multiplicación

a(b ‧ c) = (a ‧ b)c

Ejemplo

3 ‧ (2 ‧ 5) = (3 ‧ 2) ‧ 5

Elemento Neutro

El cero es el elemento neutro aditivo y el uno es el elemento neutro multiplicativo, porque todo número real, sumado y multiplicado con ellos, respectivamente, da el mismo resultado.

Para la suma

a + 0 = a

Ejemplo

3 + 0 = 3

Para la multiplicación 

a ‧ 1 = a

Ejemplo

8 ‧ 1 = 8

Inverso

Los números reales tienen un inverso aditivo, ya que si se suma el número indicado con su inverso, el resultado es cero.

Para la suma

a + (-a) = 0

Ejemplo

4 + (-4) = 0

Para la multiplicación

Todo número real "a" distinto de 0, al multiplicarlo por su inverso multiplicativo (1/a) el resultado es siempre es 1.

a ‧ 1/a = 1

Ejemplo

7 ‧ (1/7) = 1

Propiedad Distributiva

El producto de un número por una suma es igual a la multiplicación de dicho número por cada uno de los sumandos.

Para la suma y la multiplicación

a(b + c) = ab + ac

Ejemplo

3(8 + 4) = 3 ‧ 8 + 3 ‧ 4

7 ‧ 3 + 7 ‧ 4 = 7(3 + 4)

Cómo se escriben y se leen los números naturales

Cuantas veces nos ha pasado que nos cuesta escribir y leer números de muchas cifras, la principal causa es que estamos acostumbrados a leer números de pocas cifras que con el tiempo hemos perdido habilidad de leer cantidades grandes, también porque se nos olvidaron las técnicas que aprendimos en el colegio de la materia matemática básica.

Dado que los números naturales se utilizan con frecuencia en nuestras vidas diarias, es importante ser capaz de leerlos y escribirlos correctamente..

¿Cómo se leen los números naturales?

Recordemos...

Los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, y así sucesivamente. Se utilizan para responder preguntas como ¿cuánto?, ¿qué tan rápido? y ¿qué tan lejos?

El conjunto de números naturales se escribe utilizando llaves {}, como se muestra abajo. Los tres puntos indican que la lista continúa por siempre —no existe el número natural más grande. El número natural más pequeño es el 0.

Cuando se escribe un número natural utilizando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, se dice que está en la forma estándar (también llamada notación estándar). La posición de un dígito en un número natural determina su valor posicional. En el número 325, el 5 está en la columna de las unidades, el 2 está en la columna de las decenas y el 3 está en la columna de las centenas.

Para hacer que los números naturales grandes sean más fáciles de leer, se emplean comas para separar sus dígitos en grupos de tres, llamados periodos. Cada periodo tiene un nombre, como unidades, millares, millones, millares de millones y billones. La siguiente gráfica de valor posicional muestra el valor posicional de cada dígito en el número 2,691,537,557,000, el cual se lee como:

Dos billones, seiscientos noventa y un mil, quinientos treinta y siete millones, quinientos cincuenta y siete mil

Cada uno de los "5" en 2,691,537,557,000 tiene un valor posicional diferente debido al lugar que ocupan respecto a los otros números. El valor posicional del 5 contando de izquierda a derecha es de 5 centenas de millones. El valor posicional del siguiente 5 es de 5 centenas de millares y el valor posicional del último es de 5 decenas de millares.

Ejemplos 1:

Una aerolínea transportó 89,327,87 pasajeros en el año 2007.

a. ¿Cuál es el valor posicional del dígito 3?

b. ¿Cuál dígito indica el número de millones?

Estrategia Se comenzará en la columna de las unidades de 89,379,287. Después, moviéndose a la izquierda, se nombrará cada columna (unidades, decenas, centenas, y así sucesivamente) hasta alcanzar el dígito 3.

POR QUÉ Es más sencillo recordar los nombres de las columnas si comienza con el valor posicional más pequeño y moviéndose a las columnas que tienen valores posicionales mayores.

Como mencione al inicio, los números naturales se utilizan con frecuencia en nuestra vida diaria y a veces puede que pasemos algo de pena en las situaciones que nos toca leer o escribir un número natural con muchas cifras y lo hacemos de forma incorrecta.

¿Cómo se escriben los números naturales?

Para escribir un número natural en palabras, comience desde la izquierda. Escriba el número en cada periodo seguido por el nombre del periodo (excepto para el periodo de las unidades, lo cual no se emplea). Utilice comas para separar los periodos.

Para leer en voz alta un número natural, siga el mismo procedimiento. Las comas se leen como pequeñas pausas.

Ejemplo 2:

Escriba cada número en palabras:

a. 63 

b. 499 

c. 89,015 

d. 6,070,534

Estrategia Para los números más grandes en los incisos c y d, se nombrarán los periodos de derecha a izquierda para hallar el periodo más grande.

POR QUÉ Para escribir un número natural en palabras, se debe dar el nombre de cada periodo (excepto para el periodo de las unidades). Encontrar el periodo más grande ayuda a comenzar el proceso.

Ejemplo 3:

Escriba cada número en forma estándar:

a. Doce mil, cuatrocientos setenta y dos

b. Setecientos un millones, treinta y seis mil, seis

c. Cuarenta y tres millones, sesenta y ocho

Estrategia Se localizarán las comas en la forma escrita en palabras de cada número.

POR QUÉ Cuando se escribe en palabras un número natural, se emplean comas para separar los periodos.

Escribir un número natural en forma expandida

En el número 6,352, el dígito 6 está en la columna de los millares, el 3 está en la columna de las centenas, el 5 está en la columna de las decenas y el 2 está en la columna de las unidades. El significado del 6,352 se vuelve claro cuando se escribe en forma expandida (también llamada notación expandida).

Ejemplo 4:

Escriba cada número en forma expandida:

a. 85,427 

b. 1,251,609

Estrategia Comenzar de izquierda a derecha, le proporcionará el valor posicional de cada dígito y combínelos con símbolos .

POR QUÉ El término forma expandida significa escribir el número como una suma de los valores posicionales de cada uno de sus dígitos.

Deseo de gran manera que la información nos ayude a recordar como se leen y escriben los números naturales, no olviden en dejar un comentario que me sirva de retroalimentación e ir mejorando la información que publico en mi blog.

La fuente informativa para redactar este artículo es el libro:

Matemáticas básicas 4ta edición (Tussy, Gustafson, Koenig)