El dinero y el tiempo son dos factores que se encuentran estrechamente ligados con la vida de las y personas y de los negocios. Cuando se generan excedentes de efectivo, se ahorran durante un periodo determinado a fi n de ganar un interés que aumente el capital original disponible; en otras ocasiones, en cambio, se tiene necesidad de recursos financieros durante un tiempo y se debe pagar un interés por su uso.
En periodos cortos por lo general se utiliza, como ya se vio, el interés simple. En periodos
largos, sin embargo, se utilizará casi exclusivamente el interés compuesto.
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Interés simple e interés compuesto, diferencia:
A continuación para una mejor comprensión del tema, les dejo algunas definiciones de interés compuesto que he encontrado en algunos libros que consulte para desarrollar el tema, el nombre de los autores y de los libros los dejo al final.
Definición:
La definición del interés compuesto es esencial para entender las matemáticas financieras:
1) En el interés simple el capital que genera el interés permanece constante todo el tiempo que dura el préstamo. En cambio, en el interés compuesto el interés generado en un periodo dado se convierte en capital para el siguiente periodo.
2) El interés se puede definir como la operación financiera en la que el capital aumenta al final de cada periodo por adición de los intereses vencidos.
3) En el interés simple el capital original sobre el que se calculan los intereses permanece sin variación alguna durante todo el tiempo que dura la operación. En el interés compuesto, en cambio, los intereses que se generan se suman al capital original en periodos establecidos y, a su vez, van a generar un nuevo interés adicional en el siguiente lapso.
En este caso se dice que el interés se capitaliza y que se está en presencia de una operación de interés compuesto.
En estas operaciones, el capital no es constante a través del tiempo, pues aumenta al final de cada periodo por la adición de los interés ganados de acuerdo con la tasa convenida.
Esta diferencia puede captarse con claridad por medio del ejemplo siguiente:
Ejemplo 1:
Suponga que se depositan $100 000 en una cuenta de ahorros que paga 10% de interés semestral (20% de interés anual). ¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses?
I = Cit
I = 100 000(0.10)(1)
I = 10 000
Suponga que se depositan otros $100 000 en una cuenta de valores que paga 20% de interés convertible trimestralmente. ¿Cuál será el interés ganado al cabo de 6 meses?
(Nota: La tasa de interés nominal es la misma en ambos casos: 5% trimestral = 20%
anual.)
i trimestral
20% anual / 4 trimestres = 5%
1er. trimestre I = Cit
I = 100 000(0.05)(1)
I = 5 000
2do. trimestre I = (C + I)it
I = (100 000 + 5 000)(0.05)(1)
I = 105 000 (0.05)(1)
I = 5 250
I total = I 1er. trimestre + I 2do. trimestre
I total = 5 000 + 5 250
I = 10 250
En este caso, el interés es superior al que se ganó en el anterior, pues al fi nal del 1er. trimestre al capital original se le suma el interés ganado, con lo cual el total del segundo trimestre será superior al del primero.
Por lo tanto, el capital se incrementa por la adición de los intereses al final de cada periodo y éstos, a su vez, se incrementan pues son calculados sobre una base cada vez mayor. La cantidad acumulada al final de la operación se conoce como monto compuesto.
La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.
Periodo de capitalización
El interés puede ser convertido en capital anual, semestral, trimestral y mensual, etc. A dicho periodo se le da el nombre de “periodo de capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se le denomina frecuencia de conversión.
¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que paga 5% de interés capitalizable
trimestralmente?
La frecuencia de conversión es igual a 4. El periodo de capitalización es trimestral.
Tasa de interés compuesto
Por lo general, la tasa de interés se expresa en forma anual. Además, junto con ella se indica, si es necesario, su periodo de capitalización.
28% anual capitalizable mensualmente
10% anual capitalizable semestralmente
6% anual capitalizable trimestralmente
Si el interés se expresa sin mención alguna respecto de su capitalización, se entiende que ésta es anual.
Es muy importante que, para la solución de cualquier problema de interés compuesto, el interés anual sea convertido a la tasa que corresponda de acuerdo con el periodo de capitalización que se establezca; si el interés se capitaliza mensualmente el interés anual debe transformarse en interés mensual; si es trimestralmente, a interés trimestral, etcétera.
El periodo de capitalización y la tasa de interés compuesto siempre deben ser equivalentes. Así, en el ejemplo inicial, el interés de 20% anual fue transformado en interés trimestral de 5% para hacerlo equivalente al periodo de capitalización que allí se mencionaba.
En este momento pueden establecerse dos conclusiones :
a) El interés compuesto es mayor que el interés simple. Esto se debe a que el primero gana intereses por sí mismo, en tanto que el segundo no.
b) A mayor frecuencia de conversión, mayor será el interés que se obtenga si la tasa anual nominal es igual; así, un depósito bancario que obtenga intereses en forma mensual tendrá mayor rendimiento que uno que los capitalice trimestralmente y éste, a su vez, será mayor que otro que los logre cada semestre.
En forma más clara se observa el comportamiento del interés simple y el interés compuesto en una gráfica. Considere el siguiente ejemplo:
El monto a interés simple crece en forma aritmética y su gráfica es una línea recta. Sus incrementos son constantes y el interés del quinto año es igual al del primero. Su ecuación es la de una línea recta cuya pendiente o razón de incremento está dada por la tasa de interés.
En cambio, una cantidad que se coloca a interés compuesto crece en forma geométrica y su gráfica corresponde a la de una función exponencial:
Sus incrementos son variables. Como se puede apreciar en la gráfica, cada periodo presenta un incremento mayor al del periodo anterior. Su ecuación es la de una línea curva que asciende a velocidad cada vez mayor.
Monto compuesto:
El monto compuesto, como ya se ha explicado, es el resultado que se obtiene al sumar al capital original el interés compuesto. Si se dispone de un capital C y se invierte en un banco y se desea conocer el monto M del cual se dispondrá al final del periodo, sólo debe agregársele el interés I ganado.
M = C + I
pero I = Cit
cuando t = 1, I = Ci
por lo que M = C + Ci que factorizando da
M = C(1 + i)
Como puede verse, el monto de un capital al final de un periodo se obtiene multiplicándolo
por el factor (1 + i). De esta manera, al final del segundo periodo se tiene que:
Al final del tercer periodo se tiene que:
y así sucesivamente. Esta sucesión de montos forma una progresión geométrica cuyo n-ésimo término es igual a:
Esta ecuación se conoce como fórmula del monto a interés compuesto.
Ejemplo 2:
Se depositan $50 000 en un banco a una tasa de interés de 18% anual capitalizable mensualmente.
¿Cuál será el monto acumulado en 2 años?
Solución:
Como se estableció previamente, el monto a interés compuesto se calcula mediante la ecuación
Se destaca nuevamente que la definición de periodo debe ser la misma para i y para n. Así, para calcular la tasa de interés mensual, se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversión:
Para determinar n, se multiplica el lapso en años por la frecuencia de conversión:
Factor de monto a interés compuesto:
En dos años, la inversión de $50 000 se transformará en un monto de $71475.14 por la generación de un interés compuesto de $21475.14.
Ejemplo 3:
Se depositan en una caja de ahorros $100 000 a una tasa de interés de 4.8% capitalizable mensualmente.
a) ¿Cuál será el monto acumulado a interés compuesto en un periodo de nueve meses?
b) Suponiendo que la caja de ahorros preste ese mismo dinero con una tasa de interés de 30% anual capitalizable mensualmente, ¿cuál sería el pago que se debe efectuar al cabo
de los mismos 9 meses?
Debemos determinarse la tasa de interés mensual dividiendo la tasa anual entre la frecuencia de conversión:
Puesto que el tiempo de inversión está ya expresado en meses, se tienen todos los elementos necesarios para plantear y resolver el ejemplo:
Así, se sustituyen los valores en la fórmula y se tiene:
Por lo tanto, un depósito de $100 000 rendirá $3 658.10 de interés y acumulará un monto de $103 658.10 al cabo de nueve meses.
b) Préstamo
Para aplicar la fórmula
es necesario determinar la tasa de interés, para lo cual se divide la tasa anual entre la frecuencia de conversión:
Con ello se tienen ya todos los datos necesarios para aplicar dicha fórmula:
Así, se sustituyen los valores en la fórmula y se tiene:
La diferencia que existe entre el monto derivado del préstamo ($124 886.30) y el monto que debe pagar al ahorrador ($103 658.10), esto es, la cantidad de $21228.20, constituye la utilidad del intermediario financiero, en este caso, de la caja de ahorros.
Ejemplo 4:
Se obtiene un préstamo bancario de $1500 000 a un plazo de un año y con interés de 12%
convertible trimestralmente. ¿Cuál es el monto que deberá liquidarse?
Solución:
Se determina primero la tasa de interés por periodo de conversión:
El número de periodos de capitalización n es igual a: 1 año × 4 = 4
Deberá liquidarse al banco la cantidad de $1688 263.22.
Monto compuesto con periodo de interés fraccionario
La fórmula (3.3) se deriva del supuesto de que n es entero. En teoría puede aplicarse también en el caso de que n sea fraccionario, pero para resolverlo sólo puede recurrirse al uso de logaritmos o de la calculadora.
Ejemplo 5:
Se decide liquidar el préstamo del ejemplo anterior en forma anticipada luego del transcurso de 7 meses y medio. ¿Cuál es la cantidad que debe pagarse?
Solución:
7.5/3 meses = 2.5 trimestres
M = 1 500 000 (1 + 0.03)2.5
M = 1 500 000 (1.076696)
M = 1 615 043.86
Una forma práctica de resolverlo es determinar el monto compuesto correspondiente a los periodos completos de conversión y aumentar el interés simple por el periodo fraccionario de conversión a la tasa estipulada.
I compuesto I simple
La diferencia resultante, según la tasa de interés y del tiempo, puede llegar a ser significativa, por lo que siempre que sea posible se recomienda el empleo de la fórmula:
Ejemplo 6
Se contrata un préstamo bancario de habilitación y avío por 150 000 pesos. El plazo de pago es de 3 años. La tasa de interés es de 20% anual convertible semestralmente. ¿Cuál es la cantidad que deberá liquidarse si se decide cancelarlo en forma anticipada a los 15 meses?
Deben liquidarse $190 358.81
Nota: La magnitud de las cifras a veces provoca confusiones y errores por el manejo de los ceros. Por esta razón se recomienda, siempre que sea posible, eliminar ceros y manejar cifras en miles o millones de pesos en los procesos de solución de los problemas.
Cabe señalar que si bien se utilizan cifras simplificadas en los procesos de solución, el resultado final se expresa en su magnitud original.
Por el método aproximado:
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