Los números reales se usan en toda la matemática y todo estudiante debe estar familiarizado con símbolos que los representan, por ejemplo:
1, 86, -12, 49/16, √2, 0, ∛(-85), 0.33333..., 596.25
1,2,3,4 ....
Los números enteros (no negativos) son los números naturales combinados con el número 0. Los enteros se escriben a veces como sigue
.., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ...
En esta publicación, las letras minúsculas a,b,c,x,y,.. representan números reales arbitrarios (también llamados variables. si a y b denotan el mismo número real, escribimos a=b, que se lee " a es igual a b" y se denomina igualdad. La notación ≠ se lee "a no es igual a b"
Si a, b y c son enteros y a=a.b, entonces a y b son factores o divisores de c. Por ejemplo, como
6 = 2.3 = (-2)(-3) = 1.6 = (-1)(-6),
Sabemos que 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6 son factores de 6.
Un entero positivo p diferente de 1 es primo si sus únicos factores positivos son 1 y p. Los primeros números primos son 2,3,5,7,11,13, 17 y 19, el teorema fundamental de la aritmética expresa que todo entero positivo diferente de 1 se puede expresar como producto de números primos en una forma y sólo una (excepto por orden de factores). Algunos ejemplos son:
12=2.2.3, 126= 2.3.3.7, 540=2.2.3.3.3.5
Un número racional es un número real que se puede expresar en la forma a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0. Nótese que todo entero a es un número racional, dado que se puede expresar en la forma a/1. Todo número real se puede expresar como un decimal y las representaciones decimales para números
racionales son finitas o no finitas y periódicas. Por ejemplo podemos demostrar, con el uso del proceso aritmético de la división, que
5/4= 1.25 y 177/55=3.21181818...,
donde los dígitos 1 y 8 en la representación de 177/55 se repiten indefinidamente.
Los números reales que no son racionales son números irracionales. Las representaciones decimales para números irracionales son siempre no finitas y no periódicas. Un número irracional común, denotado por π, es la razón entre la circunferencia de un círculo y su diámetro. A veces usamos la notación π=3.1416 para indicar que π es aproximadamente igual a 3.1416. No hay número racional b2 = 2, donde b2 denota b.b, pero hay un número irracional denotado por √2 (la raíz cuadrada de 2), tal que (√2)2 =2
El sistema de números reales está formado por todos los números racionales e irracionales. Las relaciones entre los tipos de números empleados en álgebra están ilustradas en el diagrama de la siguiente imagen, donde una línea que enlaza dos rectángulos significa que los números mencionados en el rectángulo más alto incluyen los del rectángulo más bajo. Los números complejos contienen a todos los números reales.
Propiedades de los números reales:
Todos sabemos que 3+5 = 5+3, 5+7 = 7+5, 623+85 = 85+623, etc. en álgebra, expresamos todos estos hechos (un infinito de ellos) si escribimos
a+b = b+a
donde a y b son dos números cualquiera. En otras palabras, “a + b = b + a” es una forma concisa de decir que “cuando sumamos dos números, el orden de adición no importa”. Este hecho se conoce como Propiedad Conmutativa de la adición. De nuestra experiencia con números sabemos que las siguientes propiedades también son válidas.
Propiedades conmutativas:
a+b = b+c
ab = ba
Ejemplo:
5+2 = 2+5
4.3 = 3.4
Descripción:
Cuando sumamos dos números, el orden no importa.
Cuando multiplicamos dos números, el orden no importa.
Propiedad asociativas:
(a+b) +c = a+(b+c)
(ab) c = a(bc)
Ejemplo:
(5+3) +6 = 5+(3+6)
(8.5).3 = 8(5.3)
Descripción:
Cuando sumamos tres números, no importa cuáles dos de ellos sumamos primero.
Cuando multiplicamos tres números, no importa cuáles dos de ellos multiplicamos primero.
Propiedades Distributivas:
a(b+c) = ab + ac
(b+c)a = ab + ac
Ejemplo:
5(4+7) = 5.4 + 5.7
(4+7)5 = 4.5 + 7.5
Descripción:
La propiedad distributiva es de importancia crítica porque describe la forma en que la adición y la multiplicación interactúan una con otra.
Los números reales pueden estar representados por puntos en una recta l tal que cada número real a ahí corresponde exactamente a un punto en la recta y a cada punto p en l corresponde a un número real. Esto se llama correspondencia uno a uno (o biunívoca). Primero escogemos un punto arbitrario O, llamado el origen y lo asociamos con el número 0. Los puntos asociados con los enteros se determinan entonces al trazar segmentos de recta sucesivos de igual longitud a ambos lados de O, el punto correspondiente a un número racional, por ejemplo 23/5, se obtiene al subdividir estos segmentos de recta. Los puntos asociados con ciertos números irracionales. Por ejemplo
El número a que está asociado con un punto A en l es la coordenada de A. Nos referimos a estas coordenadas como un sistema de coordenadas y a l la llamamos recta de coordenadas o recta real. Se puede asignar una dirección a l al tomar la dirección positiva a la derecha y la dirección negativa a la izquierda. La dirección positiva se denota al colocar una punta de flecha en l, como se ve en la imagen anterior.
Los números que corresponden a puntos a la derecha de O en la imagen son números reales positivos. Los números que corresponden a puntos a la izquierda de O son números reales negativos. El número real 0 no es ni positivo ni negativo.
Nótese la diferencia entre un número real negativo y el negativo de un número real. En particular, el negativo de un número real a puede ser positivo. Por ejemplo, si a es negativo, digamos a = -3 , entonces el negativo de -a = -(-3) = 3 , que es positivo. En general, tenemos las siguientes relaciones.
Relaciones entre a y -a:
1) Si a es positiva, entonces -a es negativa
2) Si a es negativa, entonces -a es positiva
En la tabla siguiente definimos las nociones de mayor que y menor que para números reales a y b. Los símbolos > y < son signos de desigualdad y las expresiones a>b y a<b se llaman desigualdades.
Mayor que o menor que
Si los puntos A y B en una recta de coordenadas tienen coordenadas a y b, respectivamente, entonces a>b es equivalente al enunciado “A está a la derecha de B,” mientras que a<b es equivalente a “A está a la izquierda de B.”
Ejemplos:
Mayor que (>) y menor que (<)
1) 7>3, porque 7-3 = 4 es positivo.
2) -8 < -2, porque -8-(-2) = -8+2 = -6 es negativo.
3) 1/3>0.33, porque (1/3)-0.33 = (1/3)-(33/100) = 1/300 es positivo
4) 1>0, porque 1-0 = 1 es positivo
5) -7<0, porque -4-0 = -4 es negativo
La siguiente ley hace posible comparar y ordenar, dos números reales cualesquiera:
Ley de tricotomía:
Si a y b son números reales, entonces exactamente uno de lo siguiente es verdadero:
a = b, a >b, o a<b
Nos referimos al signo de un número real como positivo si el número es positivo o negativo si el número es negativo. Dos números reales tienen el mismo signo si ambos son positivos o ambos son negativos. Los números tienen signos contrarios si uno es positivo y el otro es negativo. Se pueden probar los siguientes resultados acerca de los signos de productos y cocientes de dos números reales a y b, usando propiedades de negativos y cocientes.
Ley de signos:
1) Si a y b tienen el mismo signo, entonces ab y a/b son positivos.
2) Si a y b tienen signos contrarios, entonces ab y a/b son negativos.
Los recíprocos de las leyes de signos también son verdaderos. Por ejemplo, si un cociente es negativo, entonces el numerador y el denominador tienen signos contrarios.
La notación a>= se lee “a es mayor que o igual a b,” significa que a>b o que a = b (pero no ambos). Por ejemplo, a2>=0 para todo número real a. El símbolo a<=b, que se lee “a es menor que o igual a b,” significa que a<b o que a=b. Expresiones de la forma a>=b y a<=b se denominan desigualdades no estrictas, porque a puede ser igual a b. Al igual que con el símbolo de igualdad, podemos negar cualquier símbolo de desigualdad al poner una raya diagonal sobre ella, es decir, significa no mayor que. Una expresión de la forma a<b<c se denomina desigualdad continua y significa que a<b y b<c; decimos “b está entre a y c.” Del mismo modo, la expresión a>b>c significa que c>b y b>a.
Ejemplo:
Orden de los números reales:
1) 1<5<(11/2)
2) -4<(2/3)<√2
3) 3>-9>-10
Hay otros tipos de desigualdades. Por ejemplo a<b<=c significa que a<b y b<=c. Del mismo modo, a<=b<c significa que a<b y b<c. Por último a<=b<=c, significa que a<=b y b<=c.
Determinación de un número real:
si x>c o y y<0, determine el signo de (x/y) + (y/x).
Solución:
Como es un número positivo y y es un número negativo, y y tienen signos contrarios. Entonces, x/y y y/x son negativos. La suma de dos números negativos es un número negativo, de modo que
el signo de (x/y) + (y/x) es negativo.
Si a es un entero, entonces es la coordenada de algún punto A en una recta coordenada y el simbolo |a| denota el número de unidades entre A y el origen, cualquiera que sea la dirección. El número no negativo |a| se llama valor absoluto de a. con referencia a la siguente imagen, vemos que para el punto con coordenadas -4 tenemos |-4|. igualmente, |4| = 4. En general, si a es negativo, cambiamos su signo para hallar |a|; si a es no negativo, entonces |a| = a. La siguiente definición extiende este concepto a todo número real.
Definición de valor absoluto en matemáticas:
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define de la siguiente manera:
1) Si a>=0, entonces |a| = a
2) Si a<0, entonces |a| = -a
Como a es negativo en la parte (2) de la definición, -a representa un número real positivo. Algunos casos especiales de esta definición se dan en la siguiente ilustración.
Ejemplos:
|3| = 3, porque 3>0
|-4| = -(-4), porque -4<0. entonces |-4| = 4.
|2-√2| = 2-√2, porque 2-√2>0.
|√2-2| = -(√2-2), porque √2-2<0. entonces, |√2-2| = 2-√2.
En los ejemplos, |3| = |-3| y |2-√2| = |√2-2|. En general, tenemos lo siguiente:
|a| = |-a|, para todo número real a
Remoción del símbolo de valor absoluto.
Solución:
Si x<1, entonces x-1<0; esto es, x-1 es negativo. En consecuencia, por la parte (2) de la definición de valor absoluto,
|x-1| = -(x-1) = -x+1 = 1-x.
Usaremos el concepto de valor absoluto para definir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una recta de coordenadas. Primero observamos que la distancia entre los puntos con coordenadas 2 y 7, que se observa en la imagen es igual a 5 unidades. Esta distancia es la diferencia obtenida al restar la coordenada menor (extrema izquierda) de la coordenada mayor (extrema derecha) (7-2 = 5). Si usamos valores absolutos, entonces, como |7-2| = |2-7|, no es necesario preocuparse del orden de la sustracción.
A continuación la siguiente definición:
Definición de la distancia entre dos puntos en una recta de coordenadas:
Sean a y b las coordenadas de dos puntos A y B, respectivamente, en una recta de coordenadas. La distancia entre A y B, denotada por d(A,B), está definida por:
d(A,B) = |b-a|.
Podemos usar esta notación para escribir cualquier representación decimal finita de un número real como suma del siguiente tipo:
437.56 = 4(100) +3(10) +7(1)+5(1/10) + 6(1/100)
= 4(102) + 3(101) +7(100) + 5(10-1) + 6(10-2)
Ejemplo:
Orden de los números reales:
1) 1<5<(11/2)
2) -4<(2/3)<√2
3) 3>-9>-10
Hay otros tipos de desigualdades. Por ejemplo a<b<=c significa que a<b y b<=c. Del mismo modo, a<=b<c significa que a<b y b<c. Por último a<=b<=c, significa que a<=b y b<=c.
Determinación de un número real:
si x>c o y y<0, determine el signo de (x/y) + (y/x).
Solución:
Como es un número positivo y y es un número negativo, y y tienen signos contrarios. Entonces, x/y y y/x son negativos. La suma de dos números negativos es un número negativo, de modo que
el signo de (x/y) + (y/x) es negativo.
Si a es un entero, entonces es la coordenada de algún punto A en una recta coordenada y el simbolo |a| denota el número de unidades entre A y el origen, cualquiera que sea la dirección. El número no negativo |a| se llama valor absoluto de a. con referencia a la siguente imagen, vemos que para el punto con coordenadas -4 tenemos |-4|. igualmente, |4| = 4. En general, si a es negativo, cambiamos su signo para hallar |a|; si a es no negativo, entonces |a| = a. La siguiente definición extiende este concepto a todo número real.
Definición de valor absoluto en matemáticas:
El valor absoluto de un número real a, denotado por |a|, se define de la siguiente manera:
1) Si a>=0, entonces |a| = a
2) Si a<0, entonces |a| = -a
Como a es negativo en la parte (2) de la definición, -a representa un número real positivo. Algunos casos especiales de esta definición se dan en la siguiente ilustración.
Ejemplos:
|3| = 3, porque 3>0
|-4| = -(-4), porque -4<0. entonces |-4| = 4.
|2-√2| = 2-√2, porque 2-√2>0.
|√2-2| = -(√2-2), porque √2-2<0. entonces, |√2-2| = 2-√2.
En los ejemplos, |3| = |-3| y |2-√2| = |√2-2|. En general, tenemos lo siguiente:
|a| = |-a|, para todo número real a
Remoción del símbolo de valor absoluto.
Solución:
Si x<1, entonces x-1<0; esto es, x-1 es negativo. En consecuencia, por la parte (2) de la definición de valor absoluto,
|x-1| = -(x-1) = -x+1 = 1-x.
Usaremos el concepto de valor absoluto para definir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una recta de coordenadas. Primero observamos que la distancia entre los puntos con coordenadas 2 y 7, que se observa en la imagen es igual a 5 unidades. Esta distancia es la diferencia obtenida al restar la coordenada menor (extrema izquierda) de la coordenada mayor (extrema derecha) (7-2 = 5). Si usamos valores absolutos, entonces, como |7-2| = |2-7|, no es necesario preocuparse del orden de la sustracción.
A continuación la siguiente definición:
Definición de la distancia entre dos puntos en una recta de coordenadas:
Sean a y b las coordenadas de dos puntos A y B, respectivamente, en una recta de coordenadas. La distancia entre A y B, denotada por d(A,B), está definida por:
d(A,B) = |b-a|.
El número d(A,B) es la longitud del segmento de recta AB.
Como d(B,A) = |a-b| y |b-a| = |a-b|, vemos que
d(A,B) = d(B,A).
Nótese que la distancia entre el origen O y el punto A es
d(O,A) = |a-0| = |a|,
que concuerda con la interpretación geométrica de valor absoluto. La formula d(A,B) = |b-a| es verdadera cualquiera que sean los signos de a y b, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
Hallar la distancia entre puntos:
A, B, C y D tienen coordenadas -5, -3, 1 y 6, respectivamente, en una recta de coordenadas, como se ve en la la imagen del ejemplo. Encuentre d(A,B), d(C,B), d(O,A) y d(C,D).
Solución:
Usando la definición de la distancia entre puntos en una recta de coordenadas, obtenemos las distancias:
d(A,B) = |-3-(-5)| = |-3+5| = |2| = 2
d(C,B) = |-3 -1| = |-4| = 4
d(O,A) = |-5-0)| = |-5| = 5
d(C,D) = |6-1| = 5 = 5
El concepto de valor absoluto tiene otros usos diferentes a hallar distancias entre puntos; se utiliza siempre que nos interese la magnitud o valor numérico de un número real sin que importe su signo. En la siguiente sección discutiremos la notación exponencial an , donde a es un número real (llamado la base) y n es un entero (llamado un exponente). En particular, para base 10 tenemos
100 = 1, 101 = 10, 102 = 10.10 = 100, 103 = 10 . 10. 10 = 1000,
y así sucesivamente. Para exponentes negativos usamos el recíproco del exponente positivo correspondiente, como sigue:
10-1 = 1/101 = 1/10, 10-2 = 1/102 = 1/100, 10-3=1/103 = 1/1000
Podemos usar esta notación para escribir cualquier representación decimal finita de un número real como suma del siguiente tipo:
437.56 = 4(100) +3(10) +7(1)+5(1/10) + 6(1/100)
= 4(102) + 3(101) +7(100) + 5(10-1) + 6(10-2)
En las ciencias es frecuente trabajar con números muy grandes o muy pequeños y para comparar las magnitudes relativas de cantidades muy grandes o muy pequeñas. Por lo general representamos un número positivo a grande o pequeño en forma científica, usando el símbolo para denotar multiplicación.
Forma científica:
a = cx10n, donde 1<=c<10 y n es un entero
La distancia que un rayo de luz recorre en un año es aproximadamente 5,900,000,000,000 millas. Este número se puede escribir en forma científica como 5.9 x 1012 . El exponente positivo 12 indica que el punto decimal debe moverse 12 lugares a la derecha. La notación funciona igualmente bien para números pequeños. El peso de una molécula de oxígeno se estima que es
0.000 000 000 000 000 000 000 053 gramos
o sea, en forma cientifica, 5.3 x 10-23 gramos. El exponente negativo indica que el punto decimal debe moverse 23 lugares a la izquierda
Otros ejemplos:
513 = 5.13 x 102
93,000,000 = 9.3 x 107
0.000 000 000 043 = 4.3 x 10-10
7.3 = 7.3 x 100
20,700 = 2.07 x 104
0.000 648 = 6.48 x 10-4
Imprimir artículo
No hay comentarios:
Publicar un comentario